线性方程组的构成

线性方程组可转换为由系数矩阵（A）、未知数矩阵（X）以及常数项矩阵（b）构成的增广系数矩阵（A̅）。
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]\overline{A}=[A|b]=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right]$$

矩阵的秩

矩阵的秩的定义为：矩阵非零子式（子式为矩阵中n×n的分式）的最高阶数。
由于初等变换不改变矩阵的秩，因此可利用初等变换将矩阵转换成行阶梯形矩阵，行阶梯矩阵的非零行数即为矩阵的秩。
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{初等行变换的三种类型：}}\\ & \{\begin{array}{ll}\text{交换两行：}& R_i\leftrightarrow R_j\\ \text{某行乘以非零常数：}& k{R}_i\to R_i(k\ne 0)\\ \text{某行加上另一行的倍数：}& R_i+k{R}_j\to R_i\end{array}\end{array}$$

线性方程组解的判定

通过矩阵的秩判断：
$$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{ll}\mathbf{\text{无解：}}& \text{rank}(A)\ne \text{rank}(A|b)\\ \mathbf{\text{唯一解：}}& \text{rank}(A)=\text{rank}(A|b)=n\\ \mathbf{\text{无穷多解：}}& \text{rank}(A)=\text{rank}(A|b)<n\end{array}\end{array}$$
注意：解线性方程组时，只进行初等行变换求秩；而在一般的矩阵求秩中，可以同时利用初等行变换或列变换求秩。

矩阵的运算

矩阵的加法：
$$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}\end{array}\right]$$
矩阵之间的乘法：
$$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}{b}_{11}+a_{12}{b}_{21}& a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}\\ a_{21}{b}_{11}+a_{22}{b}_{21}& a_{21}{b}_{12}+a_{22}{b}_{22}\end{array}\right]$$
结果矩阵的行数为变换矩阵的行数（结果维数），结果矩阵的列数为原矩阵的列数（向量数）。

矩阵的转置

矩阵转置就是把矩阵的行变成列，列变成行。
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{矩阵 }}A\mathbf{\text{ (2×3)：}}\\ & A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)2\times 3\\ & \mathbf{\text{矩阵 }}A\mathbf{\text{ 的转置 }}{A}^T\mathbf{\text{ (3×2)：}}\\ & A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)3\times 2\end{array}$$
对称矩阵以主对角线为轴，上线元素相同；反对称矩阵则上下元素成相反数。
反对称矩阵的主对角线元素全为0。
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{\text{对称矩阵：}}A=A^T\\ & A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 3& 4& 5\\ -1& 5& 6\end{array}\right)A^T=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 3& 4& 5\\ -1& 5& 6\end{array}\right)\\ & \mathbf{\text{反对称矩阵：}}A=-A^T\\ & A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -3\\ -2& 0& 1\\ 3& -1& 0\end{array}\right)A^T=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& 3\\ 2& 0& -1\\ -3& 1& 0\end{array}\right)=-A\end{array}$$