线代本质#3：行列式——线性变换的缩放比例（行列式、矩阵缩放） 作者: bluish 时间: 2025-06-27 分类: 未分类 #行列式的含义 行列式的含义为**线性变换（矩阵）带来的缩放比例，即线性变换对面积（二维）/体积（三维）产生改变的比例。**  如图，经矩阵变换后，原一单位基围成的面积1，被缩放为平行四边形，面积变为3×2=6。 如果行列式为0，则代表矩阵的列必然存在线性相关；二维中将变为直线或点，三维中将变成平面、直线或点。 #负值行列式 负值行列式代表空间取向发生翻转，从几何（二维）上看，ihat与jhat的左右关系发生调转（从一周考虑）。 可以理解为在空间翻转的过程中，行列式的值逐渐减小，在越过0（二维中即共线）之后，空间翻转，变为负值。  行列式为正，ihat位于jhat右侧  行列式为负，ihat位于jhat左侧 对于三维，我们可以通过右手判断空间是否翻转。如果变换后无法使用右手的三手指相对关系进行比拟，变为左手法则，则证明空间反转。  #行列式的计算 行列式的公式： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>D</mi><mi>e</mi><mi>t</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>a</mi></mtd><mtd><mi>b</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi></mtd><mtd><mi>d</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>c</mi></math> 若将c、b视为0，则矩阵变换后为平行四边形（变换后一单位基为(a,0),(0,d))，面积为底（a）×高（d），即ad。所以，可将c、b视为**平行四边形在对角方向上拉伸或压缩了多少**。因此行列式的值为ad-cb。 从几何面积上计算验证：  ##计算的性质 Det(M1M2)=Det(M1)Det(M2) 行列式表示体积缩放，复合变换的总体积变化就是缩放因子的连乘。 标签: 线性代数