矩阵的用途有描述空间变换、求解特定的线性方程组。

线性方程组求解

线性方程组可转换为系数矩阵A×位置向量x=常数向量v

从几何上看，为向量x通过矩阵A变换为向量v，因此，将向量v通过A的相反变换，即A^-1逆矩阵，即可得出向量x。
即：$$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{v}\ast A^{-1}$$

特殊的系数矩阵

若det(A)=0，则空间被压缩为一个点，一条直线或一个平面（三维），此时：

1. 逆矩阵不存在，因函数无法做到将低维转换为高维
2. 解仍可能存在，如“线”的情况下向量v恰巧在同一条线上。

矩阵的秩

矩阵的秩用于描述变换矩阵自身的情况。
矩阵带给向量的所有可能的变换结果的集合（见下式），即为矩阵的列空间。
$$A\ast \overrightarrow{x}$$
因为矩阵带给向量的所有可能变换结果，均由矩阵变换后的基向量（即矩阵中的列）所组成，即变换后基向量所张成的空间，所以此集合成为矩阵的列空间。

因此，秩即是列空间的维数。

如果列空间的维（即基向量的张成空间）与输入空间的维数相等，则矩阵满秩。
如3×2矩阵，列空间二维，输入空间二维，满秩；非共线性3×3矩阵，列空间为三维，输入空间为三维，满秩；双重共线性3×3矩阵，列空间二维，输入空间为三维，秩为2.