点积（数量积）

点积的几何含义为：
向量m于向量n上的投影，乘以向量n的长度的值。两者的逻辑顺序可调换，投影乘法与顺序无关。
故公式A：$$\left|\overrightarrow{m}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \cos \theta$$
此外，存在等价公式B(设两向量为(x1,x2)(y1,y2))：
$$x_1{x}_2+y_1{y}_2$$

相等原因

向量m于向量n上的投影，可看作是一个矩阵变换。

1. 因矩阵变换完全由基向量决定，所以做单位基向量ihat、jhat与n的投影。
2. 可见，ihat于单位向量u上的投影长度即为u的横坐标ux，jhat同理。故变换矩阵为[ux uy]。
3. 因向量m为基向量的线性组合，所以向量m经投影变换后的数值为：x1ux+y1uy
4. n向量的长度等于其与u的坐标比例，即x2/ux=y2/uy=|n|，故点积为：
   $$(x_1{u}_x+y_1{u}_y)\times \left|n\right|=x_1{u}_x\frac{x_2}{u_x}+y_1{u}_y\frac{y_2}{u_y}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$$

叉积（向量积）

点积的结果为一个值，叉积的结果为一个向量，但叉积的行列式值也具备重要意义。
叉积的向量：
$$c=a\times b（形式定义）$$
叉积的模：
$$|c|=|a|\cdot |b|\cdot \sin \theta$$

叉积的意义

叉积c的意义：供给计算——任意一个向量与空间中已给定的v、w向量构成的平行六面体的体积；此外，它的模自身也代表v、w构成的平行四边形面积。

1. 已给定的v、w向量构成平行四边形
2. 平行六面体的面积为底面积（v、w平行四边形）×高度
3. 叉积向量与v、w均垂直，并且模为平行四边形的面积；
   故第三向量于叉积c上的投影，乘以叉积的模，即为平行六面体的体积。

因此叉积需满足：叉积的模为向量v、w构成平行四边形的面积；叉积的模与第三向量的点积为平行六面体的体积。
叉积c所需满足公式：

此行列式代表着——第三向量于叉积上的投影乘以叉积的模（即v、w平行四边形的面积），等于由v、w和第三向量组成的平行六面体的体积。右侧式中第一、二、三列分别代表六面体的三边）。因v、w均确定，所以叉积c也为确定值（方向、模已确定）。

叉积的计算

化解此公式，提取系数，得叉积的计算公式：
$$\begin{array}{rl}{p}_1& =v_2{w}_3-v_3{w}_2\\ p_2& =v_3{w}_1-v_1{w}_3\\ p_3& =v_1{w}_2-v_2{w}_1\end{array}$$