行列式的含义

行列式的含义为线性变换（矩阵）带来的缩放比例，即线性变换对面积（二维）/体积（三维）产生改变的比例。

如图，经矩阵变换后，原一单位基围成的面积1，被缩放为平行四边形，面积变为3×2=6。
如果行列式为0，则代表矩阵的列必然存在线性相关；二维中将变为直线或点，三维中将变成平面、直线或点。

负值行列式

负值行列式代表空间取向发生翻转，从几何（二维）上看，ihat与jhat的左右关系发生调转（从一周考虑）。
可以理解为在空间翻转的过程中，行列式的值逐渐减小，在越过0（二维中即共线）之后，空间翻转，变为负值。

行列式为正，ihat位于jhat右侧

行列式为负，ihat位于jhat左侧

对于三维，我们可以通过右手判断空间是否翻转。如果变换后无法使用右手的三手指相对关系进行比拟，变为左手法则，则证明空间反转。

行列式的计算

行列式的公式：
$$Det\left(\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\right)=ad-bc$$
若将c、b视为0，则矩阵变换后为平行四边形（变换后一单位基为(a,0),(0,d))，面积为底（a）×高（d），即ad。所以，可将c、b视为平行四边形在对角方向上拉伸或压缩了多少。因此行列式的值为ad-cb。
从几何面积上计算验证：

计算的性质

Det(M1M2)=Det(M1)Det(M2)
行列式表示体积缩放，复合变换的总体积变化就是缩放因子的连乘。