相继变换

两个矩阵相乘的意义为两个线性变换的相继作用。
矩阵均从右至左计算，如矩阵A为斜切，矩阵B为旋转，则矩阵BA的含义为斜切——旋转，AB则为相反。此顺序是受函数的记号方式影响——f[g(x)]。

因此 M1M2≠M2M1。可见几何得，如：斜切(1,1)——旋转（-90°）与其反顺序。
注意：矩阵相乘，后矩阵的hati和hatj始终对应的是自身变换（即1,0；0，1），而不是前矩阵变换出的hati与hatj。
即——A并不是作用在B“变换过后的基底”上，而是作用在 B 本身的标准基下。

矩阵相乘

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right]$$
上式中，以几何理解，将矩阵拆分为斜切、旋转两个动作。斜切矩阵A的hati为e、g，hatj为f、h，所以计算的具体拆解为：
横坐标（hati1被B变换）（纵坐标同理）：$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e\\ g\end{array}\right]=e\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+g\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ac+gb\\ ec+gd\end{array}\right]$$
最终结果为:
$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ae+bg& af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{array}\right]$$

结合律

(AB)C=A(BC)
理解1：代数计算证明
理解2：从几何上看，(AB)得复合变换，将复合变换依从右至左的顺序作用于矩阵C，即ABC。
理解3：从代数看，优先计算AB，代数顺序为B×A，再将C作用于复合变换，即C×B*×A。因矩阵计算顺序为从右至左，所以即使先算括号内，也为C×(B×A)——C×B×A。