线性代数是有关向量空间和线性映射的数学分支。
线性变换（保持网格线平行且等距分布；原点保持固定）是操纵空间的一种方式。

什么是张成空间？

多个向量进行线性组合可以获得无数个向量，这些向量所构成的空间即为张成空间。
$$a\hat{v}+b\hat{w}+c\hat{u}$$
对于二维向量，张成空间正常情况为整个二维空间；对于三维向量，正常情况为整个三维空间。

加法作用于向量（向量变换）

加法作用于向量，在空间中理解为向量首尾相连后构成的由原点出发的新向量。
在矩阵中理解为横纵坐标的各自加法，所构成的新向量的坐标。

乘法作用于向量（空间变换）

乘法作用于向量，在空间中理解为改变原空间的hati和hatj，以更改后的hati和hatj为标准，重新定义向量位置。
在矩阵中理解为，基向量坐标变化影响线性组合向量的横纵坐标构成值（由hati和hatj共同决定单一坐标）。

矩阵提供了描述线性变换的语言

矩阵向量的乘法就是展示了线性变换作用于向量的过程
$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right]$$
此2*2矩阵中，ac和bd（竖向）就分别代表了变换后的hati和hatj。

具体

hati作用于x，改变其横、纵分布；hatj作用于y，改变其横纵分布。
故线性变换为$$x\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]$$
得x1受hati对于x的横坐标影响，受hatj对于y 的横坐标影响，故：x1=ax+by；y1同理。

线性代数中的“线性”

1. 空间的构成是多向量的线性组合。
2. 空间的变换：变换后的x1、y1各自均是原x、y的线性组合

改变基向量hati、hatj的标准，并不会改变网格空间的大体构成，仍然是平行且等距分布、原点保持固定（线性变换），形式上为矩阵与向量相乘，故相乘也满足线性变换。
这种改变作用于向量，输出向量的横纵坐标均为变换后基向量与原向量线性组合；输出向量的横坐标、纵坐标均是关于原向量分量 x 和 y 的线性函数，故为线性变换。