xian带#方向余弦三维空间中的向量(x,y,z)，其x的方向余弦为，y、z同理：cos⁡x=x|r|具有性质：① er=1|r|(x,y,z)=1|r|⋅r=单位向量② cos2⁡α+cos2⁡β+cos2⁡γ=1投影向量m于向量n上的投影，即为向量m的切面与向量n的交点m'，mm'垂直于向量n。投影的计算：（a→在x上的投影）Prjxa=|a|⋅cos⁡φ数量积公式：|m→|⋅|n→|⋅cos⁡θ（即投影乘以底向量的模） 或x1x2+y1y2更多请见文章——线性代数#5：- 阅读剩余部分 -

点积（数量积）点积的几何含义为：向量m于向量n上的投影，乘以向量n的长度的值。两者的逻辑顺序可调换，投影乘法与顺序无关。故公式A：|m→|⋅|n→|⋅cos⁡θ此外，存在等价公式B(设两向量为(x1,x2)(y1,y2))：x1x2+y1y2相等原因向量m于向量n上的投影，可看作是一个矩阵变换。因矩阵变换完全由基向量决定，所以做单位基向量ihat、jhat与n的投影。可见，ihat于单位向量u上的投影长度即为u的横坐标ux，jhat同理。故变换矩阵为[ux uy]。因向量m为- 阅读剩余部分 -

矩阵的用途有描述空间变换、求解特定的线性方程组。线性方程组求解线性方程组可转换为系数矩阵A×位置向量x=常数向量v从几何上看，为向量x通过矩阵A变换为向量v，因此，将向量v通过A的相反变换，即A^-1逆矩阵，即可得出向量x。即：x→=v→∗A−1特殊的系数矩阵若det(A)=0，则空间被压缩为一个点，一条直线或一个平面（三维），此时：逆矩阵不存在，因函数无法做到将低维转换为高维解仍可能存在，如“线”的情况下向量v恰巧在同一条线上。矩阵的秩矩阵的秩用于描述变换矩阵自身的情况。矩- 阅读剩余部分 -

行列式的含义行列式的含义为线性变换（矩阵）带来的缩放比例，即线性变换对面积（二维）/体积（三维）产生改变的比例。如图，经矩阵变换后，原一单位基围成的面积1，被缩放为平行四边形，面积变为3×2=6。如果行列式为0，则代表矩阵的列必然存在线性相关；二维中将变为直线或点，三维中将变成平面、直线或点。负值行列式负值行列式代表空间取向发生翻转，从几何（二维）上看，ihat与jhat的左右关系发生调转（从一周考虑）。可以理解为在空间翻转的过程中，行列式的值逐渐减小，在越过0（二维中即共线- 阅读剩余部分 -

相继变换两个矩阵相乘的意义为两个线性变换的相继作用。矩阵均从右至左计算，如矩阵A为斜切，矩阵B为旋转，则矩阵BA的含义为斜切——旋转，AB则为相反。此顺序是受函数的记号方式影响——f[g(x)]。因此 M1M2≠M2M1。可见几何得，如：斜切(1,1)——旋转（-90°）与其反顺序。注意：矩阵相乘，后矩阵的hati和hatj始终对应的是自身变换（即1,0；0，1），而不是前矩阵变换出的hati与hatj。即——A并不是作用在B“变换过后的基底”上，而是作用在 B 本身的标准基- 阅读剩余部分 -