线代数理#1：线性方程组解的判定——矩阵的秩（方程组、矩阵、秩） 作者: bluish 时间: 2025-07-02 分类: 未分类 #线性方程组的构成 线性方程组可转换为由系数矩阵（A）、未知数矩阵（X）以及常数项矩阵（b）构成的增广系数矩阵（A̅）。 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>A</mi><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>1</mn><mi>n</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>⋮</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>⋮</mo></mrow></mtd><mtd><mo>⋱</mo></mtd><mtd><mrow><mo>⋮</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mi>m</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mi>m</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mi>X</mi><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>⋮</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mi>b</mi><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>⋮</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>b</mi><mi>m</mi></msub></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mrow><mover><mi>A</mi><mo stretchy="false">¯</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>A</mi><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="thinmathspace"></mspace></mstyle><mrow><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="thinmathspace"></mspace></mstyle><mi>b</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnalign="center center center center center" columnspacing="1em" rowspacing="4pt" columnlines="none none none solid"><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>1</mn><mi>n</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mi>n</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo>⋮</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>⋮</mo></mrow></mtd><mtd><mo>⋱</mo></mtd><mtd><mrow><mo>⋮</mo></mrow></mtd><mtd><mrow><mo>⋮</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mi>m</mi><mn>1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mi>m</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mi>m</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>b</mi><mi>m</mi></msub></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow></math> #矩阵的秩 矩阵的秩的定义为：矩阵非零子式（子式为矩阵中n×n的分式）的最高阶数。 由于初等变换不改变矩阵的秩，因此可利用初等变换将矩阵转换成行阶梯形矩阵，行阶梯矩阵的非零行数即为矩阵的秩。 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true" columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" rowspacing="0.8em 1.3em"><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext mathvariant="bold">初等行变换的三种类型：</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">{</mo><mtable columnalign="left left" columnspacing="1em" rowspacing="0.5em 0.5em 0.2em"><mtr><mtd><mtext>交换两行：</mtext></mtd><mtd><msub><mi>R</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">↔</mo><msub><mi>R</mi><mi>j</mi></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>某行乘以非零常数：</mtext></mtd><mtd><mi>k</mi><msub><mi>R</mi><mi>i</mi></msub><mo stretchy="false">→</mo><msub><mi>R</mi><mi>i</mi></msub><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>某行加上另一行的倍数：</mtext></mtd><mtd><msub><mi>R</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><msub><mi>R</mi><mi>j</mi></msub><mo stretchy="false">→</mo><msub><mi>R</mi><mi>i</mi></msub></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE" fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo></mrow></mtd></mtr></mtable></math> #线性方程组解的判定 通过矩阵的秩判断： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true" columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">{</mo><mtable columnalign="left left" columnspacing="1em" rowspacing="0.7em 0.7em 0.2em"><mtr><mtd><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext mathvariant="bold">无解：</mtext></mrow></mtd><mtd><mtext>rank</mtext><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>≠</mo><mtext>rank</mtext><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mrow><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext mathvariant="bold">唯一解：</mtext></mrow></mtd><mtd><mtext>rank</mtext><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mtext>rank</mtext><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mrow><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext mathvariant="bold">无穷多解：</mtext></mrow></mtd><mtd><mtext>rank</mtext><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mtext>rank</mtext><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mrow><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo><</mo><mi>n</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE" fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo></mrow></mtd></mtr></mtable></math> 注意：解线性方程组时，只进行初等行变换求秩；而在一般的矩阵求秩中，可以同时利用初等行变换或列变换求秩。 #矩阵的运算 矩阵的加法： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>+</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><msub><mi>b</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>b</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>b</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>b</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow></math> 矩阵之间的乘法： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>⋅</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><msub><mi>b</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>b</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>b</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>b</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>11</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mi>a</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>12</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub><msub><mi>b</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow></math> 结果矩阵的行数为变换矩阵的行数（结果维数），结果矩阵的列数为原矩阵的列数（向量数）。 #矩阵的转置 矩阵转置就是把矩阵的行变成列，列变成行。 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true" columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" rowspacing="0.8em 1.8em 0.8em 1.8em"><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext mathvariant="bold">矩阵 </mtext></mrow><mi>A</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext mathvariant="bold"> (2×3)：</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>A</mi><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mtable columnalign="center" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>3</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn></mtd><mtd><mn>5</mn></mtd><mtd><mn>6</mn></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext mathvariant="bold">矩阵 </mtext></mrow><mi>A</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext mathvariant="bold"> 的转置 </mtext></mrow><msup><mi>A</mi><mi>T</mi></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext mathvariant="bold"> (3×2)：</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><msup><mi>A</mi><mi>T</mi></msup><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mtable columnalign="center" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>4</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>5</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn></mtd><mtd><mn>6</mn></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>2</mn></mrow></mtd></mtr></mtable></math> 对称矩阵以主对角线为轴，上线元素相同；反对称矩阵则上下元素成相反数。 反对称矩阵的主对角线元素全为0。 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable displaystyle="true" columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" rowspacing="0.8em 1.8em 0.8em 0.3em"><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext mathvariant="bold">对称矩阵：</mtext></mrow><mi>A</mi><mo>=</mo><msup><mi>A</mi><mi>T</mi></msup></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>A</mi><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mtable columnalign="center" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>3</mn></mtd><mtd><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn></mtd><mtd><mn>4</mn></mtd><mtd><mn>5</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>5</mn></mtd><mtd><mn>6</mn></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><msup><mi>A</mi><mi>T</mi></msup><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mtable columnalign="center" columnspacing="1em" 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scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><msup><mi>A</mi><mi>T</mi></msup><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mtable columnalign="center" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>−</mo><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>3</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>3</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>A</mi></mtd></mtr></mtable></math> 线代数理#1：线性方程组解的判定——矩阵的秩（方程组、矩阵、秩） http://bluish.net/archives/2338/ 作者 bluish 发布时间 2025-07-02 许可协议 CC BY-SA 4.0 复制版权信息 标签: 线性代数