线代本质#4：矩阵的用途——求解特定线性方程组（矩阵用途、秩、线性方程组） 作者: bluish 时间: 2025-06-27 分类: 未分类 矩阵的用途有描述空间变换、求解特定的线性方程组。 #线性方程组求解  线性方程组可转换为`系数矩阵A×位置向量x=常数向量v` 从几何上看，为向量x通过矩阵A变换为向量v，因此，将向量v通过A的相反变换，即A^-1逆矩阵，即可得出向量x。 即：<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow><mover><mi>x</mi><mo stretchy="false">→</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mrow><mover><mi>v</mi><mo stretchy="false">→</mo></mover></mrow><mo>∗</mo><msup><mi>A</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math> #特殊的系数矩阵 若det(A)=0，则空间被压缩为一个点，一条直线或一个平面（三维），此时： 1. 逆矩阵不存在，因函数无法做到将低维转换为高维 2. 解仍可能存在，如“线”的情况下向量v恰巧在同一条线上。 #矩阵的秩 矩阵的秩用于描述变换矩阵自身的情况。 矩阵带给向量的所有可能的变换结果的集合（见下式），即为矩阵的列空间。 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>A</mi><mo>∗</mo><mrow><mover><mi>x</mi><mo stretchy="false">→</mo></mover></mrow></math> 因为矩阵带给向量的所有可能变换结果，均由矩阵变换后的基向量（即矩阵中的列）所组成，即变换后基向量所张成的空间，所以此集合成为矩阵的列空间。 因此，**秩即是列空间的维数。** 如果列空间的维（即基向量的张成空间）与输入空间的维数相等，则矩阵满秩。 如3×2矩阵，列空间二维，输入空间二维，满秩；非共线性3×3矩阵，列空间为三维，输入空间为三维，满秩；双重共线性3×3矩阵，列空间二维，输入空间为三维，秩为2. 线代本质#4：矩阵的用途——求解特定线性方程组（矩阵用途、秩、线性方程组） http://bluish.net/archives/2314/ 作者 bluish 发布时间 2025-06-27 许可协议 CC BY-SA 4.0 复制版权信息 标签: 线性代数