线代本质#2：矩阵的相乘——相继变换（矩阵相继变换） 作者: bluish 时间: 2025-06-27 分类: 未分类 #相继变换 两个矩阵相乘的意义为两个线性变换的相继作用。 矩阵均从右至左计算，如矩阵A为斜切，矩阵B为旋转，则矩阵BA的含义为斜切——旋转，AB则为相反。此顺序是受函数的记号方式影响——f[g(x)]。 因此 M1M2≠M2M1。可见几何得，如：斜切(1,1)——旋转（-90°）与其反顺序。 注意：矩阵相乘，后矩阵的hati和hatj始终对应的是自身变换（即1,0；0，1），而不是前矩阵变换出的hati与hatj。 即——**A并不是作用在B“变换过后的基底”上，而是作用在 B 本身的标准基下。** #矩阵相乘 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>a</mi></mtd><mtd><mi>b</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi></mtd><mtd><mi>d</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>e</mi></mtd><mtd><mi>f</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g</mi></mtd><mtd><mi>h</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow></math> 上式中，以几何理解，将矩阵拆分为斜切、旋转两个动作。斜切矩阵A的hati为e、g，hatj为f、h，所以计算的具体拆解为： 横坐标（hati1被B变换）（纵坐标同理）：<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>a</mi></mtd><mtd><mi>b</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi></mtd><mtd><mi>d</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>e</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>=</mo><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>a</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>+</mo><mi>g</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>b</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>d</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>g</mi><mi>b</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>e</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>g</mi><mi>d</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow></math> 最终结果为: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>a</mi></mtd><mtd><mi>b</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi></mtd><mtd><mi>d</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>e</mi></mtd><mtd><mi>f</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g</mi></mtd><mtd><mi>h</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>g</mi></mtd><mtd><mi>a</mi><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>h</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>g</mi></mtd><mtd><mi>c</mi><mi>f</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>h</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow></math> 三维同理，原理为变换矩阵的三个列向量（即变换后基向量）的各自组成将各自占用一定的x、y、z值，故变换后的横坐标将受ihat于x的作用、jhat于y的作用、zhat于z的作用影响，y、z同理。 ##结合律 (AB)C=A(BC) 理解1：代数计算证明 理解2：从几何上看，(AB)得复合变换，将复合变换依从右至左的顺序作用于矩阵C，即ABC。 理解3：从代数看，优先计算AB，代数顺序为B×A，再将C作用于复合变换，即C×B*×A。因矩阵计算顺序为从右至左，所以即使先算括号内，也为C×(B×A)——C×B×A。 线代本质#2：矩阵的相乘——相继变换（矩阵相继变换） http://bluish.net/archives/2302/ 作者 bluish 发布时间 2025-06-27 许可协议 CC BY-SA 4.0 复制版权信息 标签: 线性代数