线代本质#1：线性变换是操纵空间的一种方式（向量、空间、矩阵变换） 作者: bluish 时间: 2025-06-22 分类: 未分类 线性代数是有关向量空间和线性映射的数学分支。 线性变换（保持网格线平行且等距分布；原点保持固定）是**操纵空间**的一种方式。 #什么是张成空间？ 多个向量进行线性组合可以获得无数个向量，这些向量所构成的空间即为张成空间。 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>a</mi><mrow><mover><mi>v</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mo>+</mo><mi>b</mi><mrow><mover><mi>w</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow><mo>+</mo><mi>c</mi><mrow><mover><mi>u</mi><mo stretchy="false">^</mo></mover></mrow></math> 对于二维向量，张成空间正常情况为整个二维空间；对于三维向量，正常情况为整个三维空间。 #加法作用于向量（向量变换） 加法作用于向量，在空间中理解为向量首尾相连后构成的由原点出发的新向量。 在矩阵中理解为横纵坐标的各自加法，所构成的新向量的坐标。 #乘法作用于向量（空间变换） 乘法作用于向量，在空间中理解为改变原空间的hati和hatj，以更改后的hati和hatj为标准，重新定义向量位置。 在矩阵中理解为，基向量坐标变化影响线性组合向量的横纵坐标构成值（由hati和hatj共同决定单一坐标）。  #矩阵提供了描述线性变换的语言 矩阵向量的乘法就是展示了**线性变换作用于向量**的过程 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>a</mi></mtd><mtd><mi>b</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi></mtd><mtd><mi>d</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>x</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>=</mo><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>a</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>+</mo><mi>y</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>b</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>d</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>y</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow></math> 此2*2矩阵中，ac和bd（竖向）就分别代表了变换后的hati和hatj。 ##具体 hati作用于x，改变其横、纵分布；hatj作用于y，改变其横纵分布。 故线性变换为<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>a</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow><mo>+</mo><mi>y</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>b</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>d</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow></math> 得x1受hati对于x的横坐标影响，受hatj对于y 的横坐标影响，故：x1=ax+by；y1同理。 #线性代数中的“线性” 1. 空间的构成是多向量的线性组合。 2. 空间的变换：变换后的x1、y1各自均是原x、y的线性组合 改变基向量hati、hatj的标准，并不会改变网格空间的大体构成，仍然是平行且等距分布、原点保持固定（线性变换），形式上为矩阵与向量相乘，故相乘也满足线性变换。 这种改变作用于向量，输出向量的横纵坐标均为变换后基向量与原向量线性组合；输出向量的横坐标、纵坐标均是关于原向量分量 x 和 y 的线性函数，故为线性变换。 线代本质#1：线性变换是操纵空间的一种方式（向量、空间、矩阵变换） http://bluish.net/archives/2296/ 作者 bluish 发布时间 2025-06-22 许可协议 CC BY-SA 4.0 复制版权信息 标签: none